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卡尔曼滤波器 更新时间:2011-05-28 21:30

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关键词:

卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm(最优化自回归数据处理算法)”。广泛应用已经超过30年,包括机器人导航,控制,传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理,例如头脸识别,图像分割,图像边缘检测等等。

卡尔曼滤波器的计算

  • 首先,引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equati)来描述:

    X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

    再加上系统的测量值:

    Z(k)=H X(k)+V(k)

    上两式子中,X(k)是k时刻的系统状态,U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值,H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的covariance 分别是Q,R(这里假设不随系统状态变化而变化)。

    对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。

    首先利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:

    X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)

    式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为0。

    到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance:

    P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

    式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的covariance。式子1,2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个,也就是对系统的预测。

    现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值,我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):

    X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

    其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain):

    Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

    到现在为止,我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance:

    P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) ……… (5)

    其中I 为1的矩阵,对于单模型单测量,I=1。当系统进入k+1状态时,P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样,算法就可以自回归的运算下去。

    卡尔曼滤波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式,可以很容易的实现计算机的程序。

卡尔曼滤波器的举例

  • 举例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程,配以程序模拟结果。

    先把房间看成一个系统,然后对这个系统建模。当然,我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的,所以A=1。没有控制量,所以U(k)=0。因此得出:

    X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)

    式子(2)可以改成:

    P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

    因为测量的值是温度计的,跟温度直接对应,所以H=1。式子3,4,5可以改成以下:

    X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)

    Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)

    P(k|k)=(1-Kg(k))P(k|k-1) ……… (10)

    现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度,我模拟了200个测量值,这些测量值的平均值为25度,但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声(在图中为蓝线)。

    为了令卡尔曼滤波器开始工作,我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值,是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意,随便给一个就可以了,因为随着卡尔曼的工作,X会逐渐的收敛。但是对于P,一般不要取0,因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的,从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度,P(0|0)=10。

    该系统的真实温度为25度,图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果(该结果在算法中设置了Q=1e-6,R=1e-1)

卡尔曼滤波器的工具函数

  • Kalman_filter

    Kalman_smoother - implements the RTS equations

    Learn_kalman - finds maximum likelihood estimates of the parameters using EM

    Sample_lds - generate random samples

    AR_to_SS - convert Auto Regressive model of order k to State Space form

    SS_to_AR

    Learn_AR - finds maximum likelihood estimates of the parameters using least squares

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