BCH码 更新时间：2014-08-06 11:07

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BCH码（BCH code），是循环码的一个重要子类，用于纠错，特别适用于随机差错校正的循环检验码。BCH码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t很容易构造出BCH码，它们的译码器也容易实现，是线性分组码中应用最普遍的一类码。由R. C. Bose、D. K. Chaudhuri和A. Hocquenghem共同提出。

BCH码概述

•     BCH码取自 Bose、Ray-Chaudhuri 与 Hocquenghem 的缩写，是自1959年发展起来的一种能纠正多位错误的循环码，是编码理论尤其是纠错码中研究得比较多的一种编码方法。用术语来说，BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码。BCH 码也可以用于质数级或者质数的幂级的多级相移键控。11 级的 BCH 码已经用于表示 10 进制数外加一个符号位。

      BCH码是一类重要的纠错码，它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组,再将每一消息组独立变换成长为n(n＞κ)的二进制数字组,称为码字。如果消息组的数目为M(显然M≤2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码,记为n，M。把消息组变换成码字的过程称为编码，其逆过程称为译码。

BCH码的常见种类

•     1、戈雷码（Golay）

      （23，12）码是一个特殊的非本原BCH码，称为戈雷码，它的最小码距7，能纠正3个错误，其生成多项式为。它也是目前为止发现的唯一能纠正多个错误的完备码。

      2、扩展形式

      实际应用中，为了得到偶数码长，并增加检错能力，可以在BCH码的生成多项式中乘D+1，从而得到（n+1，k+1）扩展BCH码。扩展BCH码相当于将原有BCH码再加上一位的偶校验，它不再有循环性。

      3、缩短形式

      几乎所以的循环码都存在它另一种缩短形式。实际应用中，可能需要不同的码长不是或它的因子，我们可以从码中挑出前s位为0的码组构成新的码，这种码的监督位数不变，因此纠错能力保持不变，但是没有了循环性。

BCH码的构建

•     BCH 码使用有限域上的域论与多项式。为了检测错误可以构建一个检测多项式，这样接收端就可以检测是否有错误发生。

      要构建一个能够检测、校正两个错误的 BCH 码，我们要使用有限域 GF(16) 或者 Z₂[x]／<x⁴ + x + 1>。如果 α 是 m₁(x) = x⁴ + x + 1 的一个根，那么 m₁ 就是 α 的极小多项式，这是因为

      m₁(x) = (x - α)(x - α²)(x - α⁴)(x - α⁸)=x⁴ + x + 1。

      如果要构建一个能够纠正一个错误的 BCH 码，那么就使用 m₁(x)，这个代码就是所有满足

      C(x) ≡ 0（mod m₁(x)）且根为 α, α², α⁴, α⁸ 的多项式 C(x)。

BCH码解码

•     BCH 的解码过程可以分为以下四步

      1、计算接收到的向量 R 的 2t 伴随矩阵

      2、计算错误定位多项式

      3、解多项式，得到错误位置

      4、如果不是二进制 BCH 码，就计算错误位置的误差值