1 引 言
干涉仪测量误差可以分为随机误差和系统误差两大类。通过多次测量求平均的方法可以有效降低随机误差的影响，而系统误差却无法通过求平均的方法去除，所以在高精度面形测量时必须对干涉仪系统误差进行标定和校正。干涉仪系统误差源有很多种，如：参考面面形误差、系统成像畸变、非共光路误差、探测器量化误差等。
关于标定参考面面形误差的研究已经比较深入，早在1967年G.Schulz和J.Schwider就提出光学平面的绝对标定方法———三面互检法[1-2]。对球面进行绝对标定的最初原理是由A。E。Jen-son于1974年提出的，并应用于泰曼—格林干涉仪上。进入90年代，绝对标定已经成为光学测量研究领域的一个热点，国内外有很多文献详细论述了参考面绝对标定的方法[3-6]。目前一些商用干涉仪软件，例如ZYGO的MetroPro，已经集成了绝对标定的程序。如何校正干涉仪的非共光路误差、探测器量化误差也有相当的报道[7-11]，然而关于校正干涉仪系统成像畸变误差的研究却比较少。L.A.Selberg在1987年曾经论述过在高精度面形检测中，校正干涉仪成像畸变误差的重要性[12]，但是并没有详细论述其校正方法。
本文详细论述了干涉仪成像畸变对测量精度的影响，提出了误差标定校正的方法，并进行了实验验证。
2 干涉仪成像畸变导致的测量误差
干涉仪的光学系统具有双重职能：其一是产生1个准直光束，其二是将被测面共轭成像到CCD上。图1为一个Fizeau型干涉仪的典型光学结构示意图。
干涉仪成像畸变对测量精度的影响表现在被测波面经过干涉仪光学系统后发生变形.假设ρc为干涉图样的径向坐标，ρt为被测表面的径向坐标，m为系统放大率，ρc，ρt之间有以下对应关系：
如果干涉仪成像系统有畸变，这种对应关系就会被破坏，假设标准镜头畸变系数为ε，则被测表面与干涉图样之间的对应关系变为：
被测波面可由一系列正交多项式之和表示，如式(4)所示。
被测波面经过系统后，由于畸变的影响，径向坐标ρ产生了非线性变化，用ρ+Δρ代入式(4)，对式(4)进行展开，由于干涉仪系统畸变值是一个小量(一般商用干涉仪系统畸变不大于1%)，只取ε的一次项：(1+ε)n≈1+nε，可得到以下关系：
从式(6)可以看出，由于畸变的影响，带有低阶波像差的被测波面经过光学系统后会衍生出高阶像差，其大小与畸变大小成正比。
例如，当被测面倾斜安装时，被测波面表达式为W(ρ，θ)=a1ρsinθ，经过系统后，被测波面变为W(ρ，θ)=a1ρsinθ+a1ερ3sinθ，测量结果引入了彗差项。同理，当被测面有轴向位置误差，即被测波面带有离焦时会引入球差项。
3 干涉仪系统成像畸变校正
降低干涉仪系统成像畸变对测量精度影响的一个简单方法是尽量在零干涉条纹下进行测量。但在高精度测量时，例如测量精度要求达到nm数量级时，由于严格的零条纹实际上无法实现，所以必须进行畸变校正。如果已知干涉仪系统的具体光学参数，可以通过光线追迹计算出畸变引起的测量误差。在使用商业干涉仪无法确知其光学系统具体参数的情况下，可以通过畸变敏感矩阵校正畸变对测量精度的影响。
根据式(4)～(6)可知，干涉仪系统成像畸变引起的测量误差与干涉仪系统成像畸变可以近似成线性关系，而且与被测波面的波像差成正比。例如干涉仪系统存在1%成像畸变，当被测面离焦1个条纹时引起的测量误差约为12nm，而一个面形精度PV值为λ/40的被测面，由于面形精度引起的测量误差在1nm以下。
在高精度测量时，由于被测面高阶波像差都很小，畸变引起的测量误差主要表现为被测面倾斜和离焦所导致的测量误差，所以在畸变校正时，主要校正由于倾斜和离焦引起的测量误差。则畸变引起的测量误差可由式(7)表示：
在式(7)中M为测量结果的原始数据;▽xM(x，y)和▽yM(x，y)为被测波面梯度的x和y方向分量矩阵，▽2 M(x，y)为被测波面的离焦量矩阵;Cx(x，y)，Cy(x，y)和S(x，y)分别为被测波面梯度x、y方向分量的误差敏感矩阵和被测面离焦的误差敏感矩阵。▽xM，▽yM和▽2 M可以根据测量原始数据M计算得出，某些商业干涉仪软件可以直接提供。Cx(x，y)，Cy(x，y)和S(x，y)可以用Zernike拟合的方法得到，如式(8)所示。
拟合过程如下：
(1)调整被测面使其尽量达到零条纹，进行第一次测量，结果为M1，调整被测面沿x方向的倾斜量，在不同干涉条纹数的情况下作多次测量，测量结果为Mn;
(2)用非零条纹测量的结果Mn减去零条纹测量的结果M1，得出每次测量的差值Dn。将Dn作Zernike拟合，Dn=∑ani·Zi(x，y)。
(3)根据ani的变化趋势计算出倾斜对测量结果的影响，即根据ani拟合出x方向梯度的敏感矩Cx(x，y)的第i项Zernike系数cxi。同理可以得到y方向梯度敏感矩阵Cy(x，y)和离焦的敏感矩阵S(x，y)。
得到系统的误差敏感矩阵后，根据式(7)算出由畸变所引起的测量误差ΔW，从而可以对测量结果进行校正。
4 实验与结果
4.1 测量误差
用干涉仪两次测量同一个被测面，第一次测量时，调整被测面尽量减少干涉条纹;第二次测量时，轻微调整被测面的倾斜量和轴向移动量，在条纹较多的情况下进行测量。根据第二节所得结论，由于干涉仪成像畸变的影响，第二次测量结果与第一次相比，会具有额外的球差和彗差。
实验中使用的干涉仪为Zygo GPI移相干涉仪，参考镜头为Zygo F/0.65标准镜头，被测面为富士F/0.7标准镜头的参考面。两个标准镜参考面面形标称精度PV值均为λ/20。实验装置如图2所示。
实验测量结果如图3所示。图中第1列为2次测量的干涉图样，第2列为测量的原始数据，第3列为使用干涉仪软件MetroPro去除倾斜/离焦后的数据，在测量精度要求不高时，一般认为第3列的结果即被测面面形。第4列为第3列中2次测量结果的点对点偏差。
从图中可以看出，在干涉图样为3个条纹下的测量结果和10个条纹下的测量结果PV值相差10nm，两次测量去除离焦和倾斜后的点对点偏差明显含有彗差和球差，和理论预测的结果符合的很好。
4.2 误差校正
根据第三节所述步骤方法对以上两次测量结果进行校正。首先拟合出该干涉仪实验平台的误差敏感矩阵，如图4所示。得到系统的误差敏感矩阵后，根据式(7)计算出由畸变所引起的测量误差ΔW，进而对测量结果进行校正。校正的结果如图5所示，图中第1列为校正前2次测量结果，第2列为根据本文提出的畸变校正方法计算出的由干涉仪系统成像畸变所引起的测量误差，第3列为经过校正后的测量结果，第4列为校正后2次测量结果的点对点偏差。从图中可以看出，较正后2次测量结果PV值偏差<1.5nm，RMS值的偏差<0.5nm。2次测量的点对点偏差RMS值<1nm，可见文中提出的畸变校正方法有效地提高了测量再现性。
5 结 论
本文根据光学系统的波像差理论和干涉检测原理推导出干涉仪系统成像畸变对测量结果的影响，并提出了畸变误差的校正方法。干涉仪系统的成像畸变会使带有低阶波像差的被测波面在经过光学系统后衍生出高阶像差，特别是使被测面摆放存在倾斜和离焦时，由于系统畸变的影响测量结果会呈现出彗差和球差，降低测量精度。文章通过分析干涉仪系统畸变误差的产生机理，提出了畸变误差的校正方法。实验结果表明，经过畸变误差校正后，2次测量结果的复现性误差从10nm降低到1.5nm以下，文章提出的畸变校正方法有效地降低了测量误差，提高了测量精度。
参考文献：
[1] SCHULZ G，SCHWIDER J.Precise measurementof planness[J].Applied Optics，1967，6(6)：1077-1084.
[2] SCHULZ G，SCHWIDER J。Establishing an opti-cal flatness[J].Applied Optics，1971，10(4)：929-934.
[3] SCHREINER R，SCHWIDER J，LINDLEIN N，etal..Absolute testing of the referene surface of aFizeau interferometer through even/odd elecomposi-tions[J].Applied Optics，2008，47(32)：6134-6141.
[4] BURKE J，DAVID S WU。Calibration of spherical
reference surfaces for Fizeau interferometry：a com-parative study of methods[J].Applied Optics，2010，49(31)：6014-6023.
[5] VANNONI M，MOLESINI G。Three-flat test withplates in horizontal posture[J].Applied Optics，2008，47(12)：2133-2144.
[6] VANNONI M，MOLESINI G.Absolute planaritywith three-flat test：an iterative approach withZernike polynomials[J].Optics Express，2008，16(1)：341-354.
[7] LIU D，YANG Y Y，TIAN CH，et al..Practicalmethods for retrace error correction in nonnull aspherictesting[J].Optics Express，2009，17(9)：7025-7035.
[8] EVANS C J，KESTNER R N。Test optics error re-moval[J].Applied Optics，1996，35(7)：1015-1021.
[9] CREATH K。Error sources in phase-measuring in-terferometry[C].SPIE，1992，1720：428-435.
[10] 王孝坤，王丽辉，张学军.干涉法实时测量浅度非球面技术[J].光学 精密工程，2008，16(2)：184-189.
WANG X K，WANG L H，ZHANG X J。Testingasphere by subaperture stitching inerferometricmethod[J].Opt.Precision Eng.，2008，16(2)：184-189.(in Chinese)
[11] 贺俊，陈磊.使用红外干涉仪测量非球面面形[J].光学 精密工程，2010，18(1)：69-74.
HE J，CHEN L。Measurement of aspheric sur-faces by infrared interferometer[J].Opt.Preci-sion Eng.，2010，18(1)：69-74.(in Chinse)
[12] SELBERG L A.Interferometer accuracyand pre-
cision[J].SPIE，1990，1400：24-33.
作者简介：
刘满林(1985-)，男，广东佛山人，研究实习员，2009年于哈尔滨工业大学获得硕士学位，主要从事光学设计的研究。E-mail：liuml@ciomp、ac、cn
杨 旺(1984-)，男，黑龙江绥化人，研究实习员，2009年于哈尔滨工业大学获得硕士学位，主要从事光学设计，高精度面 形 检 测 技 术 的 研 究。E-mail：yangwang@ciomp、ac、cn
许伟才(1983-)，男，湖北武汉人，博士研究生，主要从事光学设计的研究。E-mail：weicaixx@163、com
