Widrow和Hoff等人于1960年提出最小均方误差(LMS)算法，由于其结构简单，计算量小，稳定性好，易于实现等优点而得到广泛的应用。LMS算法的缺点是收敛速度慢，它克服不了收敛速度和稳态误差这一对固有矛盾：在收敛的前提下，如果步长取较大值，虽然收敛速度能得到提高，但稳态误差会随之增大，反之稳态误差虽然降低但收敛速度就会变慢。为解决这一矛盾，人们提出了许多改进型自适应算法。其中很大一类是变步长LMS算法。文献[4]提出Sigmoid函数变步长LMS算法(SVSLMS)。该算法在初始阶段或未知系统的系数参数发生变化时，其步长较大，从而使该算法有较快的收敛速度；而在算法收敛后，不管主输入端干扰信号e(n)有多大，都保持很小的调整步长，从而获得较小的稳态失调噪声。但Sigmoid函数过于复杂，且在误差e(n)接近零处变化太大，不具有缓慢变化的特性，使得SVSLMS算法在自适应稳态阶段仍有较大的步长变化；文献[5]提出的算法引入了多个调整参数，因而步长因子不易设计和控制；文献[6-8]提出了3种与误差信号成非线性关系的步长设计方法，该类算法具有较好的收敛性能，但3种算法在计算步长因子时，都存在指数运算。在数字信号处理中，进行一次指数运算需要的计算量，相当于进行多次乘法运算的计算量。

因此这类算法在实现时，增大了计算复杂度。为克服上述变步长LMS自适应滤波器存在的不足，在此提出了一种新的变步长LMS自适应滤波算法，该算法具有良好的收敛性能，较快的收敛速度，较小的稳态误差．良好的鲁棒性，并且在求变步长因子时计算量较小。

1 新的变步长LMS算法分析

基本的固定步长LMS算法的迭代公式可以表述为：



式中：X(n)表示时刻n的输入信号矢量；W(n)表示时刻n自适应滤波器的权系数；d(n)是期望输出值；e(n)是误差；μ是控制稳定性和收敛速度的参量(步长因子)。本文基于文献[6，7]建立一个步长μ(n)和误差e(n)的函数关系：反正切函数是一个关于自变量的增函数，且在零附近变化平缓，而且是一个有界函数，函数值不会发散。根据W(k+1)=W(k)=w*=最佳Wiener解，即2μ(n)e(n)X(n)=0并且0<μ(n)<1／λmax，即∣e(n)X(n)∣=0，求得e(n)最小值。
根据上述讨论，可将新算法的变步长μ(n)取为：

μ(n)=βαtan(α∣e(n)X(n)∣)

初始时刻∣e(n)X(n)∣很大，由于反正切是一个自变量的增函数，所以μ(n)较大；随着算法不断地向稳态趋近，∣e(n)X(n)∣不断减小，μ(n)也随之不断减小；当达到稳态时，∣e(n)X(n)∣很小，μ(n)也很小，此时的稳态失调误差也很小。

由图1可看出α越大，相同误差水平时的步长也越大，但在误差接近为零时步长变化越剧烈。图2是β取不同值时的步长变化曲线，可以看出随着β的减小步长也在减小。



2 仿真及结果分析

下面通过计算机仿真来验证算法的收敛性能。仿真条件为：自适应滤波器的阶数为L=2；未知系统的FIR系数为W=[0，0]^T；参考输入信号x(n)是零均值，方差为1的高斯白噪声；v(n)为与x(n)不相关的高斯白噪声。分别做200次独立的仿真，采样点数为1 000，然后求其统计平均，得出学习曲线。

图3是α固定，不同β值对应的收敛曲线。随着β值的增大，算法的收敛速度逐渐加快。图4是β保持不变，不同α值对应的收敛曲线，随着α逐渐减小，算法的误差也随之减小，但达到稳态的时间逐渐增加。

文献[7]提出了一种改进的变步长LMS算法，其步长变化为e(n)X(n)的函数：

μ(n)=β[1-exp(-α∣e(n)x(n)∣²)]

该算法取α=15，β=0.3。图5是在第500个采样点时刻未知系统发生时变，系数矢量变为W=[0.2，0.5]^T时本文算法与文献[7]算法的比较，分别做500次独立的仿真，然后求其统计平均，得出学习曲线。可以看出本文所述算法具有更快的收敛速度，更快地回到稳态，说明此算法具有更好的鲁棒性，并且计算量更小。