摘　要　通过分析零件公差与加工成本之间的关系，从产品制造的角度出发，同时兼顾产品使用者的利益，推导了由设计产品精度分配零件公差的计算公式，得到机械产品精度优化设计的数学模型。
　　关键词　产品精度　公差　加工成本　优化设计

　　1　成本-公差模型

　　为了深入、准确地描述成本与公差的相互关系，往往需要采用数学方法，由于产品加工成本的影响因素很多，采用不同的加工手段，必然导至加工成本迥异。即使采用相同的加工工艺，不同的制造者由于生产技术与管理水平等因素的差异，最终产品的生产加工成本也可能有很大的出入。因此比较难于确定出一个通用的成本-公差关系式。
　　由于成本-公差的关系，取决于具体的加工对象与加工工艺过程，不同的加工对象与加工工艺过程，可能更适应于某一种特定的数学模型。目前国外研究者在实验的基础上分别提出了各种形式的成本-公差模型^{［1］［2］}，国内也已开始关注这一问题的研究^［4］。但无论现有的哪一种模型方案，均为随自变量增加而趋近于一常数的在第一象限内下凹单调减函数，其理论曲线的形状均如图1所示。其中，最常见的为平方倒数模型^［3］

     (1)

图1

式中：C——零件功能形面的加工成本；
　　　a——与公差变动无关的成本常数；
　　　b——与公差变动有关的成本曲线特征系数。
　　通过选取多个观察统计样本，采用最小二乘法对统计样本数据进行回归分析，可得成本-公差模型的参数值如下

2　零件公差优化设计

　　机械产品的质量在很大程度上是与产品的工作精度等输出性能指标联系在一起的。在一般情况下，产品的输出特性参数都是构成产品的零部件几何参数的映射，因此，产品的输出特性都可用其零部件几何参数来描述。显然，输出特性的变化与几何参数的取值范围，即产品精度与零件设计公差之间也可以建立起相应的数学表达式，这个数学表达式就称为功能方程，可表达为

T＝f（t₁，t₂，……，t_n）     (2)

式中：T——产品输出特性公差；
　　　t_i——零件设计公差。
　　功能方程是进行公差设计的主要依据。公差设计包括公差分析和公差综合两项内容。公差分析是已知产品组成零件的设计公差t_i，根据功能方程计算产品输出特性的变动量T₀，检验产品设计精度T是否得到满足。公差综合的目的是将产品设计精度T按一定的规则分配给相关零件公差t_i，使得产品制造成本为最小。因此，最好的公差分配判据是零件的制造成本。
　　在确定了产品输出特性误差的传递途径，即确定了为达到产品工作精度应包括的零件设计公差与公差传递系数后，一般可以采用两种模型建立功能方程：极差公差模型与统计公差模型。
极差公差模型     (3)

统计公差模型      (4)

其中：ξ_i——第i个公差传递系数；
　　　K₀——输出特性公差相对分布系数；
　　　K_i——第i个公差相对分布系数。
　　当零件尺寸分布曲线为正态分布时，K_i值为1。当各零件尺寸均遵循正态分布时，不论零件尺寸数多少以及各尺寸分布范围大小之间的比值如何，输出特性值必定遵循正态分布；当各零件尺寸具有各自任意形式的分布曲线，只要尺寸数不太少(一般n5)，各尺寸分布范围大小相差不太大时，产品输出特性值仍然趋向正态分布，这时，可均取K₀＝1。
　　如果总制造成本用C_∑表述，则由式(2)得

　　假设以统计公差模型为研究前提，功能方程为

　　以总成本C_∑最小为公差分配判据，这就是一个求解条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法求解。
　　引入一个新函数

　　上式中λ为拉格朗日乘法，是一个待定系数。为使函数f为最小，令f对t_i的一阶偏导数为零，得

由此得

　　将式(8)代入式(6)得

即

　　再将式(9)代入式(8)，即得设计公差计算通式

　　不难看出，由设计确定产品输出特性公差T，在满足约束条件T₀T时，按式(10)计算出各零件公差，将达到公差的优化分配设计。
　　将式(10)代入式(5)得总成本

3　产品精度优化设计

　　日本著名质量管理学家田口玄一博士认为：“所谓质量就是产品上市后给予社会的损失。但是，由于功能本身所产生的损失除外。”^［6］由此可见，无论任何产品面市后，都会产生不同程度的由于产品功能(亦称产品输出特性)的波动而造成的损失。所谓质量好的产品，就是上市后给社会带来的损失少的产品。
　　质量给社会带来的损失的后果，首先反映在用户购买产品的意愿上，并且直接影响到产品的市场占有率，最终也要给生产者带来损失。因此，质量损失也可作为衡量产品制造者在市场信誉损失的指标。
　　田口玄一提出的质量损失函数，描述了产品输出特性与质量损失之间的定量关系
　　L（y）＝k（y－m）²
式中：m——产品输出特性的理想目标值；
　　　k——质量损失系数，由产品丧失功能损失F与产品功能界限(输出特性公差)T决定，与产品输出特性y无关。
　　质量损失函数曲线如图2所示。

图2

　　由于产品输出特性公差T＝｜y－m｜，故有

L（y）＝kT²     （12）

　　一般来说，组成产品的零件精度高，有助于提高产品的质量，从而减少质量损失。但精度高的零件，必然要增加产品的生产成本。降低零件的制造精度，对于产品制造者虽然减少了成本损失，但使产品的质量下降，又增加了产品的质量损失，最终也将给产品制造者造成损害。显然，使得质量损失与成本损失综合损失最小，是选择最佳精度的标准。
　　令L_∑为总损失，则有

　　L_∑＝L（y）＋C_∑

　　由式(11)与式(12)可得

　　总损失函数曲线如图3所示。

图3

　　由前所述，a_i，b_i，ξ_i与K₀，K_i均为与输出特性公差T无关的参数，不妨令

则式(13)可表述为

令

　　考虑到产品输出特性公差的客观存在，舍去无意义的值，可得到

即

为产品精度的最佳公差值，建立起机械产品精度优化设计的数学模型。

4　结束语

　　本文通过分析零件公差与加工成本之间的关系，推导了由设计产品精度分配零件公差的计算公式，从产品制造者的角度出发，同时兼顾产品使用者的利益，综合产品质量损失与成本损失的理论，得到产品设计精度的最优化模型。