1. 坐标系的建立
   如图1所示，S(O-i，j，k)和S_p (O_p-j_p，j_p，k_p )为两个固定空间坐标系，其中，Z轴与齿轮的回转轴线重合，Z_P轴与蜗杆砂轮的回转轴线重合，两轴正向之间的夹角为S(0<S<p)；X轴与 X_P轴重合，它们的方向为两轴线的最短距离方向；OO_P为最短距离，即中心距a。坐标系S₁(O₁-i₁， j₁，k₁)与齿轮固联，坐标系S₂(O₂-i₂， j₂，k₂)与蜗杆砂轮固联，在起始位置，它们分别与S及S_P重合。
2. 第一次包络分析
   1. 修形滚轮齿面S^Ⅰ在S中的向量方程由吴序堂所著《齿轮啮合原理》(机械工业出版社1982出版)可知，斜齿廓面在S1中的方程为

   (1)

   式中：q，v——渐开面参数

   p——螺旋参数
   将其转换至S中，可得

(2)

式中：f₁——转角

1. 1. 单位公法线向量n在S中的表达式
      由《齿轮啮合原理》可知

2. (3)

3. 1. 相对运动速度V¹²在S中的表达式
      根据《齿轮啮合原理》，设w₁=1，则有

4. (4)

5. 1. 啮合方程S^Ⅰ、S^Ⅱ间的啮合方程为

   f=nV12=0

   (5)

   将式(3)、(4)代入式(5)，可得斜齿廓面啮合方程为

   (6)

   1. 蜗杆砂轮齿面方程S^Ⅱ
      将式(1)转换到S₂中并与式(6)联立，可得斜齿廓面修形的蜗杆砂轮齿面方程S^Ⅱ为

6. (7)

7. 第二次包络分析
   第二次包络中，蜗杆砂轮齿面S^Ⅱ与被加工齿轮齿面S^Ⅲ的啮合方程可表示为

   y*=n*V21'=0

   (8)

   此时蜗杆砂轮上的独立参数q、v 及f₁已转化为一般参数，与第二次包络中蜗杆砂轮与被加工齿轮的转角参数f₂^*、f₁^* 无关。

   1. 单位公法线向量n在S₂中的表达式将n在S中的表达式(3)转换到S₂中，可得

   (9)

   1. 相对运动速度V^21'在S₂中的表达式

   (10)

   1. 啮合方程
      将式(9)、(10)代入式(8)，可得啮合方程

   (11)

8. 二次接触分析
   1. 二次接触分析
      由式(6)可知，U'=W'。分析式(11)，可得第二次包络啮合方程的解为

9. (12)

   
   

   图2 接触线示意图

   因为tand=V'/U'，d=arctan(V'/U') ，所以

   (13)

10. 1. 由此可见，在第二次包络中蜗杆砂轮齿面上满足啮合方程的啮合点有两种：①满足f₂^*=f₂的点。由这些点形成的接触线就是第一次包络中蜗杆齿面上接触线的复现，称为原接触线，取不同的f₂^*值，在工件齿面上由原接触线形成的齿面是与修整轮齿面完全一致的渐开面S₁^Ⅲ；②满足f₂^*=f₂+2d 的点。它们形成一条新接触线，新接触线族形成的曲面已不再是渐开螺旋面，而是一个新曲面S₂^Ⅲ，这是由于第一次包络的二次接触造成的，两曲面交于第一次包络的啮合界限线(见图2)。
    2. 啮合界限线
       在磨齿加工中，工件的最终理想齿面应为渐开面，而不应出现新曲面。因此，需要分析第一次包络的啮合界限线。

11. (14)

    对f₁求偏导数，则有

    Usin(q+f1)+Vcos(q+f1)=0

    (15)

12. 1. 将式(14)、(15)联立，可得S^Ⅰ上啮合界限线的条件方程。解此方程并化简，可得

13. (16)

    式中

    A=(pRb-i21pRbcosS-Rbi21asinS)2-(pai21cosS+Rb2i21sinS)2

    (17)

14. 1. 将式(16)与式(1)联立，可得第一次包络的啮合界限线方程为

15. (18)

16. 1. 由式(18)可知，当A>0时，修整轮齿面上存在两条啮合界限线，且沿z₁轴的相互距离为2A^½cosb_b( b_b为基圆柱面上的螺旋角，cosb_b=p/(p²+R_b²))；当A<0时，修整轮齿面上不存在啮合界限线；当A=0时，修整轮齿面上仅有一条啮合界限线。
    2. 是否存在啮合界限线的判据
       为使蜗杆砂轮能够磨削出整个工件齿面，应将啮合界限线排除于有效工作齿面之外。令A=0，并将p=r_b/tanb代入，经整理可得

17. (19)

18. 1. 环面蜗杆磨齿时轴交角S的选用原则为：当S>S₁或S< S₂时 ，修整轮齿面上无啮合界限线，加工出的工件齿面为螺旋渐开面。

图3 修整后的砂轮

1. 试验条件
   机床型号：大连机床厂齿轮分厂使用的瑞士赖斯豪尔NZA蜗杆砂轮磨齿机；砂轮规格：294.5mm×104mm(长×宽)，单头右旋，已动平衡；试件：m=3mm，z=42，b=25°，B=20mm，a=20°，材料为40Cr，挤齿后已淬火；金刚石滚轮：山东科技大学机电学院研制，粒度80^#，几何参数同试件。
2. 试验步骤
   根据上述分析，选取适当的中心距a，计算出不出现啮合界限线的轴交角S；调整机床，先用金刚石滚轮修整砂轮，直到砂轮进给到理论中心距a(见图3)，然后用砂轮磨削试件。试验结果表明，试件的齿形、齿向误差均有较大改善。

1. 环面蜗杆砂轮磨齿法的啮合原理为渐开面二次包络，可能会出现二次接触现象；
2. 选择适当的中心距a和轴交角S，可将啮合界限线排除齿面之外，获得理想的被加工齿面；
3. 环面蜗杆砂轮磨齿法加工效率高，齿形精度好，具有良好的应用前景。